피타고라스의 정리에 따르면 $a = \sqrt{x^2 + z^2}$이다.

• 2D 벡터의 길이 공식 : $||\mathbf{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• 3D 벡터의 길이 공식 : $||\mathbf{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

[그림 1.8] 피타고라스의 정리를 두 번 적용하면 3차원 벡터의 길이를 구할 수 있다.

단위벡터(unit vector)

• 길이가 1인 벡터로, 방향은 유지하면서 크기를 1로 정규화(nomalization)한 벡터
• 단위 벡터 $\hat{\mathbf{u}}$는 다음과 같이 계산한다.

$$ \hat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\Vert{}\mathbf{u}\Vert{}} = \left(\frac{x}{\Vert{}\mathbf{u}\Vert{}}, \frac{y}{\Vert{}\mathbf{u}\Vert{}}, \frac{z}{\Vert{}\mathbf{u}\Vert{}}\right) $$

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예 1.3

벡터 $\mathbf{v} = (-1, 3, 4)$를 정규화해 보자.

$\Vert{}\mathbf{u}\Vert{} = \sqrt{(−1)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{26}$이다. 따라서 $\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\Vert{}\mathbf{v}\Vert{}} = {\left(\frac{-1}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}\right)}$이다.

$\hat{v}$가 실제로 단위벡터인지를 그 길이를 계산해서 확인해 보면 다음과 같다.

$$ \Vert{}\hat{\mathbf{v}}\Vert{} = \sqrt{\left( \frac{-1}{\sqrt{26}}\right)^2 + \left(\frac{3}{\sqrt{26}} \right)^2 + \left(\frac{4}{\sqrt{26}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{26} + \frac{9}{26} + \frac{16}{26}} = \\[1em] \sqrt{1} = 1 $$

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