• 내적 : 두 벡터의 크기와 그 사이의 각도를 이용하여 계산되는 연산
• 점곱(dot product) 또는 내적(inner Product)은 스칼라 값을 내는 벡터 곱셈의 일종이다. 결과가 스칼라 값이라서 스칼라 곱(scalar product)이라고 부르기도 한다.

두 벡터 $\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z), \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$의 내적은 다음과 같이 정의된다.

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = {u_x}{v_x} + {u_y}{v_y} + {u_z}{v_z} $$

코사인의 법칙을 이용하면 내적의 기하학적 의미를 찾을 수 있다.

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \Vert{}u\Vert{} \Vert{}v\Vert{} \cos \theta $$

• $\Vert{}\mathbf{u}\Vert{}, \Vert{}\mathbf{v}\Vert{}$는 벡터의 크기(길이)
• $\theta$ 는 두 벡터 사이의 각도

내적의 성질

• 두 벡터가 직교(orthogonal)이면 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$
• 두 벡터가 이루는 각도가 예각(acute, $0^\circ \leq \theta < 90^\circ$)이면 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} > 0$
• 두 벡터가 이루는 각도가 둔각(obtuse, $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$)이면 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} < 0$

$$ \begin{cases} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} > 0, & 0^\circ \leq \theta < 90^\circ \\ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0, & \theta = 90^\circ \\ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} < 0, & 90^\circ < \theta \leq 180^\circ \end{cases} $$

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예 1.4

$\mathbf{u} = (1, 2, 3)$이고 $\mathbf{v} = (-4, 0, -1)$이라고 할 때, $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 사이의 각도를 구해 보자.

1. 내적 계산

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1, 2, 3) \cdot (-4, 0, -1) = -4 -3 = -7 $$

1. 벡터 크기 계산

$$ \Vert{}\mathbf{u}\Vert{} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}, \quad \Vert{}\mathbf{v}\Vert{} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} $$

1. 각도 구하기

$$ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{{\Vert{}\mathbf{u}\Vert{}}{\Vert{}\mathbf{v}\Vert{}}} = \frac{-7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{17}} $$

$$ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{-7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{17}}\right) $$

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