• 외적(Cross Product) : 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 곱으로 새로운 벡터를 생성하는 연산
• 3차원 공간에서만 정의되며, 결과 벡터는 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 모두에 수직

$$ {w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} $$

1. 두 벡터의 외적은 다음과 같이 정의됨

$$ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} $$

1. 이를 전개

$$ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} {u_y}{v_z} - {u_z}{v_y} \\ {u_z}{v_x} - {u_x}{v_z} \\ {u_x}{v_y} - {u_y}{v_x} \end{bmatrix} $$

1. 새로운 벡터 $\mathbf{w}$의 각 성분은 다음과 같음

$$ w_x = {u_y}{v_z} - {u_z}{v_y} \\ w_y = {u_z}{v_x} - {u_x}{v_z} \\ w_z = {u_x}{v_y} - {u_y}{v_x} $$

외적의 성질

• 교환법칙이 성립하지 않음(Anti-commutative)
  • 벡터 순서를 바꾸면 부호가 반대가 됨

$$ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u}) $$

• 직교성(Orthogonality)

  • 결과 벡터는 항상 원래 두 벡터에 수직

  $$ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \perp \mathbf{u}, \quad (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \perp \mathbf{v} $$

• 벡터 크기(길이)와 삼각형의 면적

  • 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적을 나타냄
  • 만약 두 벡터가 평행하면 $\sin \theta = 0$이므로 외적 결과가 0 벡터가 됨

$$ \Vert{}\mathbf{u} \times \mathbf{v}\Vert{} = \Vert{}\mathbf{u}\Vert{} \cdot \Vert{}\mathbf{v}\Vert{} \sin \theta $$

• 단위 벡터 간의 외적
  • 단위 벡터 간의 외적 관계를 이해하면 좌표 변환 등에 유용함

$$ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \quad \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \\ \mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}, \quad \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j} $$