행렬(Matrix)
- 행(row)과 열(column)로 구성된 직사각형 형태의 실수(real number) 배열이다.
- $m \times n$ 행렬이라고 하면, $m$개의 행과 $n$개의 열을 갖고 있으며, 각 위치에 실수 요소들을 저장한다.
- 행렬을 구성하는 수들을 원소(element) 또는 성분(entry)이라고 부른다.
- 각 원소(요소)를 $\displaystyle M_{ij}$로 표기하는데, $i$는 행 인덱스(위에서부터 차례대로), $j$는 열 인덱스(왼쪽에서부터 차례대로)를 의미한다.
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예 2.1
다음 행렬들을 생각해 보자.
$$
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
3.5 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.5 & 0 \\
2 & -5 & \sqrt{2} & 1
\end{bmatrix} \quad
\mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12} \\
B_{21} & B_{22} \\
B_{31} & B_{32}
\end{bmatrix} \\[1em]
\mathbf{u} =
\begin{bmatrix}
u_1, u_2, u_3
\end{bmatrix} \quad
\mathbf{v} =
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0 \\
\pi
\end{bmatrix}
$$
- 행렬 $\mathbf{A}$는 4 x 4 행렬, 행렬 $\mathbf{A}$의 4행 2열의 성분은 $A_{42} = -5$이다.
- 행렬 $\mathbf{B}$는 3 x 2 행렬, 행렬 $\mathbf{B}$의 2행 1열의 성분은 $B_{21}$이다.
- 행렬 $\mathbf{u}$는 1 x 3 행렬, 1행 3열이므로 행 벡터(row vector)
- 행렬 $\mathbf{v}$는 4 x 1 행렬, 4행 1열이므로 열 벡터(column vector)
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때로는 행렬의 각 행이나 각 열을 하나의 벡터로 취급할 수도 있다.
$$
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{A_{1, *}} \\
\mathbf{A_{2, *}} \\
\mathbf{A_{3, *}}
\end{bmatrix}
$$
$A_{1, *}$는 $A$의 첫 번째 행 전체를 나타내는 행 벡터(row vector)가 된다.(*는 해당 차원을 전부 포함한다는 표기) 마찬가지로 열을 벡터로 볼 때는 $A_{∗, 1}$처럼 표기한다. 이런 관점은 벡터, 행렬 곱셈을 다룰 때 유용하다.
행렬의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈
- 두 행렬은 오직 대응되는 성분들이 상등일 때에만 상등이다.(두 행렬의 행, 열 수가 동일해야 한다.)
- 두 행렬을 더할 때에는 대응되는 성분들을 더한다.(행, 열 수가 같은 행렬들만 덧셈이 가능)
- 행렬에 하나의 스칼라를 곱할 때에는 행렬의 모든 성분에 그 스칼라를 곱한다.
- 행렬의 뺄셈은 스칼라 곱셈과 행렬 덧셈으로 정의한다.
- $\mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-1 \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})$
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예 2.2
다음과 같은 행렬들이 있다고 하자.
$$
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 5 \\
-2 & 3
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
6 & 2 \\
5 & -8
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{C} =
\begin{bmatrix}
1 & 5 \\
-2 & 3
\end{bmatrix}, \\[1em]
\mathbf{D} =
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -3 \\
-6 & 3 & 0
\end{bmatrix}
$$
그러면
(i) $\mathbf{A} + \mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
1 & 5 \\
-2 & 3
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
6 & 2 \\
5 & -8
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 + 6 & 5 + 2 \\
-2 + 5 & 3 + (-8)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
7 & 7 \\
3 & -5
\end{bmatrix},$
(ii) $\mathbf{A} = \mathbf{C},$
(iii) $3\mathbf{D} =
3\begin{bmatrix}
2 & 1 & -3 \\
-6 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3(2) & 3(1) & 3(-3) \\
3(-6) & 3(3) & 3(0)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
6 & 3 & -9 \\
-18 & 9 & 0
\end{bmatrix},$
(iv) $\mathbf{A} - \mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
1 & 5 \\
-2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
6 & 2 \\
5 & -8
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 - 6 & 5 - 2 \\
-2 - 5 & 3 - (-8)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-5 & 3 \\
-7 & 11
\end{bmatrix}$
</aside>
덧셈과 스칼라 곱셈이 성분별로 이루어지기 때문에, 행렬의 덧셈과 스칼라 곱셈도 실수의 덧셈 및 곱셈의 다음과 같은 속성들을 만족한다.
- 덧셈의 교환법칙 : $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}$