2.2.1 정의

두 행렬 $\mathbf{A}(m \times n)$와 $\mathbf{B}(n \times p)$의 곱 $\mathbf{AB}$는 정의되려면 $\mathbf{A}$의 열 수 = $\mathbf{B}$의 행 수여야 함
결과 행렬 $\mathbf{C}$는 크기가 $m \times p$이며, 원소 $\mathbf{C}_{ij}$는 $\mathbf{A}$의 $i$번째 행 벡터와 $\mathbf{B}$의 $j$번째 열 벡터의 내적으로 계산됨
$\mathbf{A}$의 열 수 = $\mathbf{B}$의 행 수일 경우, 곱셈 가능
2차원 벡터와 3차원 벡터의 내적은 취할 수 없음(차원이 다른 벡터끼리는 내적을 계산할 수 없음)

$$ C_{ij} = A_{i, ∗} \cdot B_{∗, j} $$

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예 2.3 다음과 같은 행렬들이 있다고 하자.

$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ 1 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} $$

그러면 곱 $\mathbf{AB}$는 정의되지 않는다. $\mathbf{A}$의 행 벡터의 차원은 2이지만, $\mathbf{B}$의 열 벡터의 차원은 3이기 때문이다.

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2.2.2 벡터와 행렬의 곱셈

벡터와 행렬의 곱셈은 행렬의 행 벡터들의 선형 결합으로 해석할 수 있다.
예시로 $\mathbf{u}$는 1 × 3 행 벡터, $\mathbf{A}$는 3 × 3 행렬이라면, 곱 $\mathbf{uA}$는 1 × 3 행 벡터가 된다.

$$ \mathbf{uA} = \mathbf{xA}{1, *} + \mathbf{yA}{2, *} + \mathbf{zA}_{3, *} $$