2.1 수와 집합

분류	정의	기호
자연수	물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합	$\mathbb{N}$
정수	자연수와 자연수의 음수 0을 포함하는 수의 집합	$\mathbb{Z}$
유리수	분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합	$\mathbb{Q}$
무리수	두 정수 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합	$\mathbb{I}$
실수	유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합	$\mathbb{R}$
복소수	실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 $i$를 조합해 $a + bi$($a, b$는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합	$\mathbb{C}$
사원수	실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 $i, j, k$를 조합해 $a + bi + cj + dk$($a, b, c, d$는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합	$\mathbb{H}$

집합과 원소의 관계

2.1.1 연산과 수의 구조

수집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 점

사칙연산이 대표적(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)
두 개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어내기 때문에 이항 연산(Binary Operation)이라고도 함

이항 연산

같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항 연산의 결과가 항상 투입한 집합에 속한다면, 그 이항 연산은 해당 집합에 대해 닫혀 있다(Closure)고 한다.
이항 연산은 3가지 성질을 지님
- 교환법칙(Commutative law)
  - 연산 기호 양쪽에 있는 수나 피연산자의 자리를 바꾸어 계산해도 결과가 항상 같은 성질
  - $a + b = b + a$
  - $a \cdot b = b \cdot a$
- 결합법칙(Associative law)
  - 세 수 이상을 연산할 때 괄호의 위치를 바꾸어 어느 쪽을 먼저 계산하더라도 결과가 항상 같은 성질
  - $(a + b) + c = a + (b + c)$
  - $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- 분배법칙(Distributive law)
  - 서로 다른 2가지 연산에 대해 다음의 규칙이 성립되는 것
    - $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$(좌분배법칙)
    - $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$(우분배법칙)
이항 연산의 특징
- 항등원(Identity)
  - 어떤 수에 어떤 연산을 하였을 때, 그 결과가 처음 수 자기 자신이 되게 만드는 특별한 원소
  - $a + 0 = a$(덧셈의 항등원은 $0$)
  - $a \cdot 1 = a$(곱셉의 항등원은 $1$)
  - 덧셈이나 곱셈에 대해 각각 0과 1로 고정
- 역원(Inverse)
  - 어떤 원소와 연산했을 때 항등원이 나오게 하는 원소
  - $a + (-a) = 0$(덧셈의 역원은 $-a$)
  - $a \cdot \frac{1}{a} = 1$(곱셈의 역원은 $\frac{1}{a}$)
  - 덧셈이나 곱셈에 주어진 수에 따라 값이 달라짐
  - 덧셈 역원은 주어진 수에서 항상 부호가 반대인 수가 되므로 반대수(Opposite Number, 반수)라고 함
  - 곱셈 역원은 분자가 1이고 분모는 주어진 수가 되므로 역수(Reciprocal)라고 함
  - 분모가 0이 되는 분수는 존재하지 않으므로 0의 곱셈 역원은 없음

2.2 함수

함수(Function) : 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계를 의미

2.2.1 함수의 개념과 종류

두 집합을 $X$와 $Y$라는 기호로 지정하고, 집합 $X$의 원소를 $x$, 집합 $Y$의 원소를 $y$라 할 때 $X$에서 $Y$로 대응되는 함수를 $y = f(x)$로 나타낸다.