• 단위 행렬(identity matrix) 또는 항등 행렬은 주대각선의 원소만 1이고 나머지는 모두 0인 정사각 행렬(정방행렬)이다.
• 일반적으로 $n \times n$ 크기의 단위 행렬은 $\mathbf{I}_n$으로 나타냄

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

단위 행렬은 곱셈 항등원 역할을 함(행렬에 항등 행렬을 곱해도 원래 행렬이 그대로 유지)

$$ \mathbf{AI} = A, \quad \mathbf{IB} = B $$

특히 정사각 행렬 $\mathbf{M}$에 대해서는 다음이 성립

$$ \mathbf{MI} = \mathbf{IM} = \mathbf{M} $$

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예 2.6

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$이고 $\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$일 때 $\mathbf{MI} = \mathbf{IM} = \mathbf{M}$임을 확인해 보자.

$$ \mathbf{MI} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} (1, 2) \cdot (1, 0) & (1, 2) \cdot (0, 1) \\ (0, 4) \cdot (1, 0) & (0, 4) \cdot (0, 1) \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf{IM} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} (1, 0) \cdot (1, 0) & (1, 0) \cdot (2, 4) \\ (0, 1) \cdot (1, 0) & (0, 1) \cdot (2, 4) \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} $$

따라서 $\mathbf{MI} = \mathbf{IM} = \mathbf{M}$이다.

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