$$ \det\mathbf{A} \neq 0 \iff \mathbf{A} $$
주어진 $n \times n$ 행렬 $\mathbf{A}$에서, $i$ 행과 $j$열을 제거하여 얻는 $(n-1) \times (n-1)$ 행렬을 $\mathbf{A}_{ij}$의 소행렬(minor matrix)이라고 함
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예 2.8 다음 행렬의 소행렬 $\mathbf{\bar{A}}{11}, \mathbf{\bar{A}}{22}, \mathbf{\bar{A}}_{13}$을 구해 보자.
$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} $$
$\mathbf{\bar{A}}{11}$은 1행과 1열을 제거, $\mathbf{\bar{A}}{22}$은 2행과 2열을 제거, $\mathbf{\bar{A}}_{13}$은 1행과 3열을 제거한 것이다.
$$ \mathbf{\bar{A}}{11} = \begin{bmatrix} A{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{\bar{A}}{22} = \begin{bmatrix} A{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{\bar{A}}{13} = \begin{bmatrix} A{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{bmatrix} $$
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행렬식은 재귀적으로 정의된다. 예를 들어 4 x 4 행렬의 행렬식은 3 x3 행렬의 행렬식을 항으로 하여 정의되고 3 x 3 행렬의 행렬식은 2 x 2 행렬의 행렬식으로, 2 x 2 행렬의 행렬식은 1 x 1 행렬의 행렬식으로 정의된다.
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} A_{11} \end{bmatrix}$의 행렬식은 간단하게 정의되는데, 바로 $\det \begin{bmatrix} A_{11} \end{bmatrix} = A_{11}$이다.