• 행렬 대수(Matrix Algebra)에서는 나눗셈이 정의되어 있지 않지만, 곱셈에 대한 역(inverse), 즉 역행렬에 대한 정의는 존재함
• 어떤 정사각 행렬 $\mathbf{M}$이 있을 때, 그 역행렬은 $\mathbf{M}^{-1}$로 표기하며 다음을 만족함($\mathbf{I}$는 항등 행렬(Identity matrix))

$$ \mathbf{MM}^{-1} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{M} = \mathbf{I} $$

역행렬의 기본 성질

• 오직 정사각 행렬만이 역행렬을 가진다.
• 모든 정사각 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아님
  • $\det(\mathbf{M}) \neq 0$이어야 역행렬 존재(가역 행렬)
  • $\det(\mathbf{M}) = 0$이면 특이 행렬(singular matrix)이라 부름
• 역행렬이 존재하는 경우 그 역행렬은 고유하다.
• 역행렬을 곱하면 항상 항등 행렬이 됨
• 역행렬이 존재하는 경우, $\mathbf{A}^{-1}$을 항등원처럼 사용할 수 있음

역행렬은 행렬 방정식을 다른 행렬에 대해 풀 때 유용하다. 예를 들어 $\mathbf{p}' = \mathbf{pM}$이라는 행렬 방정식이 있고, $\mathbf{p}'$과 $\mathbf{M}$은 알고 있으며 $\mathbf{p}$를 구해야 한다고 하자. $\mathbf{M}$이 가역이라고 할 때(즉 $\mathbf{M}^{-1}$이 존재함), $\mathbf{p}$를 다음과 같이 구할 수 있다.

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예 2.10 2 x 2 행렬 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$의 역행렬에 대한 일반 공식을 구하고, 그 공식을 이용해서 행렬 $\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$의 역행렬을 구해 보자.

$$ \det\mathbf{A} = A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21} \\[1em] \mathbf{C}A = \begin{bmatrix} (-1)^{1 + 1}\det\mathbf{\bar{A}}{11} & (-1)^{1 + 2}\det\mathbf{\bar{A}}{12} \\ (-1)^{2 + 1}\det\mathbf{\bar{A}}{21} & (-1)^{2 + 2}\det\mathbf{\bar{A}}_{22} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \mathbf{A}{22} & -\mathbf{A}{21} \\ -\mathbf{A}{12} & \mathbf{A}{11} \end{bmatrix} \\[1em] \mathbf{A}^{-1} = \frac{\mathbf{A}^*}{\det(\mathbf{A})} = \frac{\mathbf{C}A^T}{\det(\mathbf{A})} = \frac{1}{A{11}A_{22} - A_{12}A_{21}} \begin{bmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{bmatrix} $$

이 공식을 이용해서 $\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$의 역행렬을 구하면

$$ \mathbf{M}^{−1} = \frac{1}{3 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 1/6 & 1/2 \end{bmatrix} \\[1em] \mathbf{M}^{−1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 1/6 & 1/2 \end{bmatrix} $$

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